Правило лопиталя раскрытие неопределенностей


Правило лопиталя раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя с примерами


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА >> >> >>Правило Лопиталя для вычисления пределов Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций.

Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0.

Если

= 0, то

, если последний существует.

Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел. 1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

§ 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Для

и

– бесконечно большая более высокого порядка при

, чем любая логарифмическая функция

.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л. Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей. Если = ∞, то , если последний существует. 3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1∞и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований.
3)

.

Таким образом, показательная функция растет быстрее, а логарифмическая функция медленнее, чем степенная.
Стр 5 из 5 Соседние файлы в предмете 07.02.2015624.13 Кб 20.03.201651.1 Кб 07.02.201514.36

7.4.

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1.

Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя. Если = 0, то , когда последний существует. 2. Неопределенность вида ¥/. Второе правило Лопиталя. Если = ¥, то , когда последний существует. 3. Неопределенности вида 0× ,  — , 1и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥/ путем алгебраических преобразований.

Пример 3.25. Найти предел функции y = при x  0. Решение. Имеем неопределенность вида -. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю.

К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя.

Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь: = = == ==. Пример 3.26. Найти . Решение. Раскрывая неопределенность вида / по правилу Лопиталя, получаем: = = =0.

Пример 3.27. Вычислить . Решение. A = . Тогда ln A = = = = 2,  Пусть

Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя

6Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 — 1704) – французский математик Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (к конечному числу или к одной из бесконечностей:

,+ , – ) выполняется путем формальной подстановки соответствующего значения вместо аргумента в аналитическую формулу функции.

Имеем неопределенность вида 1. Обозначим искомый предел через A.

В результате таких операций очень часто приходят к выражениям вида:

,

,

,

,

Правило Лопиталя

Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a, тогда существует

. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализбесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что безвсякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и

«не имеет ничего против того,чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно»

.

Иоганн Бернулли предъявил претензиина все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу подпримечательным названием

«Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают»

, 1704.

§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя


Обозначим

. Прологарифмируем это равенство

.

Найдем

.

Так как lny функция непрерывная, то

. Следовательно,

или

.

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в

Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Содержание Содержание Мы уже начали разбираться с пределами и их решением.

Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя.

Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году.

Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось?

Мы – нет. Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про . Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений.

§13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

существует конечный или бесконечный

.

Тогда существует

, т. е.

.

(1) Доказательство.

Т. к. f и g дифференцируемы в

, то они непрерывны в

, кроме, быть может самой точкиx0. Но если положить и , то доопределенные таким образом функции f и g непрерывны в точке x0, т.

е. в

. Возьмем

.

Рассмотрим [x0;x], если x>x0 ([x;x0], если x

Раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя

Построим график функции.НЕЛОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПример.Найти неопределенный интеграл

.Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена

Получаем:Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду.