Правило лопиталя раскрытие неопределенностей
Оглавление:
- Правило Лопиталя с примерами
- § 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
- 7.4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя
- Правило Лопиталя
- § 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы
- §13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- Раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя
Правило Лопиталя с примерами
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА >> >> >>Правило Лопиталя для вычисления пределов Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций.
Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0.
Если
= 0, то
, если последний существует.
§ 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Для
и
– бесконечно большая более высокого порядка при
, чем любая логарифмическая функция
.
.
7.4.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1.
Пример 3.25. Найти предел функции y = при x 0. Решение. Имеем неопределенность вида -. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю.
К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя.
Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь: = = == ==. Пример 3.26. Найти . Решение. Раскрывая неопределенность вида / по правилу Лопиталя, получаем: = = =0.
Пример 3.27. Вычислить . Решение. A = . Тогда ln A = = = = 2, Пусть
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя
6Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 — 1704) – французский математик Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (к конечному числу или к одной из бесконечностей:
,+ , – ) выполняется путем формальной подстановки соответствующего значения вместо аргумента в аналитическую формулу функции.
В результате таких операций очень часто приходят к выражениям вида:
,
,
,
,
Правило Лопиталя
Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a, тогда существует
. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализбесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что безвсякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и
«не имеет ничего против того,чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно»
.
Иоганн Бернулли предъявил претензиина все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу подпримечательным названием
«Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают»
, 1704.
§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Обозначим
. Прологарифмируем это равенство
.
Найдем
.
Так как lny функция непрерывная, то
. Следовательно,
или
.
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в
Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы
Содержание Содержание Мы уже начали разбираться с пределами и их решением.
Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя.
Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году.
Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось?
Мы – нет. Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про . Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений.
§13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
существует конечный или бесконечный
.
Тогда существует
, т. е.
.
(1) Доказательство.
Т. к. f и g дифференцируемы в
, то они непрерывны в
, кроме, быть может самой точкиx0. Но если положить и , то доопределенные таким образом функции f и g непрерывны в точке x0, т.
е. в
. Возьмем
.
Рассмотрим [x0;x], если x>x0 ([x;x0], если x
Раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя
Построим график функции.НЕЛОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПример.Найти неопределенный интеграл
.Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Пример.
Замена
Получаем:Пример.
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду.